Kinematika Rotasi

Kinematika Rotasi- Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak rotasi. Bumi berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit yang bentuknya elips. Demikian juga Bulan yang berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Bumi. Dalam bagian ini, akan dibahas gerak benda yang berotasi pada sumbunya yang ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.

1. Posisi Sudut dan Perpindahan Sudut

Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa posisi sudut suatu partikel yang bergerak melingkar dinyatakan sebagai θ dengan satuannya dalam radian atau derajat. Apabila partikel tersebut berpindah, perpindahannya disebut perpindahan sudut. Perhatikanlah Gambar 6.1 berikut.

partikel yang berpindah dari titk P ke titik Q dalam lintasan lingkaran

Gambar 6.1 Sebuah partikel yang berpindah dari titk P ke titik Q dalam lintasan lingkaran

Gambar tersebut menunjukkan sebuah partikel yang bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran berjari-jari R. Partikel tersebut berpindah dari titik P ke titik Q dengan jarak perpindahan linear Δs = sQsP dan perpindahan sudut Δθ = θQ – θP. Oleh karena itu, dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut.

perpindahan sudut Δθ

dengan:

Δθ = perpindahan sudut (rad),

Δs = perpindahan linear (m), dan

r = jari-jari lingkaran (m).

2. Definisi Kecepatan Sudut

Berdasarkan definisi kecepatan, kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut partikel per satuan waktu. Kecepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Analisa kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan integral dan turunan akan dibahas pada bagian berikut.

a. Kecepatan Sudut Rata-Rata

Perpindahan sudut yang dilakukan oleh partikel yang bergerak melingkar merupakan fungsi waktu. Dengan demikian, dapat dituliskan θ = θ (t). Perhatikanlah Gambar 6.2.

Perpindahan sudut sebesar Δθ selama selang waktu Δt

Gambar 6.2 Perpindahan sudut sebesar Δθ selama selang waktu Δt

Posisi sudut benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai θ . Kemudian, partikel tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δθ sehingga pada saat t + Δt, partikel berada di titik Q dengan posisi sudut θ + Δθ . Perpindahan sudut partikel tersebut adalah

Δθ =(θ + Δθ )−θ

Dengan demikian, kecepatan sudut partikel dapat dituliskan sebagai berikut.

kecepatan sudut partikel

Oleh karena θ bersatuan derajat, radian, atau putaran, ω pun dapat bersatuan derajat/sekon, radian/sekon, atau putaran per sekon. Apabila perpindahan sudut partikel tersebut dibuat grafik hubungan antara posisi sudut (θ ) terhadap waktu (t), seperti Gambar 6.3, Anda dapat melihat bahwa kecepatan sudut rata-rata dinyatakan sebagai perubahan posisi selama selang waktu tertentu.

Perpindahan sudut

Gambar 6.3 Perpindahan sudut sebesar Δθ selama selang waktu Δt pada partikel yang bergerak melingkar.

b. Kecepatan Sudut Sesaat

Perhatikanlah grafik posisi sudut terhadap waktu pada Gambar 6.5.

Grafik posisi sudut

Gambar 6.5 Grafik posisi sudut,θ , terhadap waktu, t, kecepatan sudut rata-rata, ω = (Δθ/ Δt)

Apabila selang waktu perpindahan partikel yang bergerak melingkar menuju nol, kemiringan garis yang menyatakan kecepatan sudut rata-rata partikel akan semakin curam. Dengan demikian, kecepatan sudut sesaat dapat didefinisikan sebagai.

kecepatan sudut sesaat

Atau

kecepatan sudut sesaat

dengan kalimat lain dapat dinyatkan bahwa ω merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sudut terhadap waktu. Satuan kecepatan sudut sesaat dinyatakan dalam radian/sekon.

Contoh menghitung posisi sudut

Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh θ = (3t2 – 8t + 10) rad dengan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon,

b. kecepatan sudut rata-rata selama 10 sekon pertama, dan

c. kecepatan sudut titik pada saat t = 10 sekon.

Jawab

Diketahui: θ = (3t2 – 8t + 10) rad.

a. Posisi sudut titik pada saat t = 2 sekon adalah

θ = 3t2 – 8t + 10 = 3(2)2 – 8(2) + 10 = 6 rad.

b. Tentukan lebih dahulu posisi sudut titik pada saat t = 0 dan t = 10 s.

t = 10 s → θ = 3(10)2 – 8(10) + 10 = 230 rad

t = 0 → θ = 3(0)2 – 8(0) + 10 = 10 rad

Δθ = 230 – 10 = 220 rad.

Untuk selang waktu Δt = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalah

ω= (Δθ/ Δt) = (220/10) = 22 rad/s

c. Kecepatan sudut sesaat sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.

Kecepatan sudut sesaat titik pada t = 10 s adalah ω = 6t – 8 = 6(10) – 8 = 52 m/s.

3. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut

Fungsi posisi sudut dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan persamaan sudut sebagai fungsi waktu. Cara ini sama dengan cara menentukan posisi suatu benda dari pengintegralan fungsi kecepatan benda yanag telah dibahas pada subbab A. Dari Persamaan ω=( dθ/dt)Anda telah mengetahui bahwa

Menentukan Posisi Sudut

Apabila persamaan tersebut diintegralkan, akan dapat dituliskan persamaan integral sebagai berikut

posisi sudut

dengan θ0 = posisi sudut awal (rad atau derajat).

Perhatikanlah grafik pada Gambar 6.6. Oleh karena integral adalah penjumlahan yang kontinu, nilai ∫ ω (t) dt sama dengan luas daerah di bawah kurva grafik ω terhadap t.

Posisi sudut partikel sama dengan daerah di bawah kurva

Gambar 6.6 Posisi sudut partikel sama dengan daerah di bawah kurva.

4. Definisi Percepatan Sudut

Analogi dengan percepatan pada gerak linear, definisi percepatan sudut pada gerak melingkar adalah perubahan kecepatan sudut per satuan waktu. Pembahasan mengenai percepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu percepatan sudut rata-rata dan percepatan sudut sesaat.

a. Percepatan Sudut Rata-Rata

Kecepatan sudut pada saat t adalah sebesar ω dan pada saat t t adalah sebesar ω + Δω . Percepatan sudut rata-rata partikel tersebut dapat dinyatakan sebagai

Percepatan sudut rata-rata partikel

Atau

Percepatan sudut rata-rata

dengan satuan percepatan sudut α adalah dalam rad/s2 .

b. Percepatan Sudut Sesaat

Percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit percepatan sudut rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil atau Δt menuju nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.

Percepatan Sudut Sesaat

Contoh menghitung percepatan sudut

Sebuah roda berotasi pada suatu poros tertentu. Titik partikel pada roda tersebut memenuhi persamaan kecepatan sudut ω = 2t2 – 3t + 8, dengan ω dalam rad/s dan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. percepatan sudut rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 6 sekon,

b. percepatan sudut awal partikel, dan

c. percepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon.

Jawab

Diketahui: ω = 2t2 – 3t + 8.

a. Persamaan umum kecepatan sudut adalah ω = 2t2 – 3t + 8 sehingga

untuk t2 = 6 sekon, ω2 = 2(6)2 – 3(6) + 8 = 62 rad/s, dan

untuk t1 = 2 sekon, ω1 = 2(2)2 – 3(2) + 8 = –6 rad/s.

Percepatan sudut rata-ratanya, diperoleh

= 17 rad/s2.

b. Percepatan sudut sebagai fungsi waktu diperoleh dengan menerapkan persamaan berikut.

Percepatan sudut awal partikel (pada t = 0) adalah α = –3 rad/s2.

c. Percepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon adalah α = 4(6) – 3 = 21 rad/s2.

5. Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut

Berdasarkan Persamaan α= dω/dt, Anda telah mengetahui bahwa percepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut. Oleh karena itu, apabila persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu suatu partikel diintegralkan, akan diperoleh persamaan kecepatan sudutnya.

Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut

dengan ω0 = kecepatan sudut awal (rad/s)

Contoh menghitung kecepatan sudut dari percepatan sudut

Sebuah piringan hitam berputar dengan percepatan sudut α = (10 – 4t) rad/s2 dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0, sebuah titik berada pada sudut θ 0 = 0° dengan kecepatan sudut awal ω0 = 4 rad/s. Tentukan:

a. persamaan kecepatan sudut, dan

b. posisi sudut sebagai fungsi waktu.

Jawab

Diketahui: α = (10 – 4t) rad/s2, θ 0 = 0°, dan ω 0 = 4 rad/s. a. Gunakan persamaan kecepatan sudut.

ω = (4 + 10t – 2t2) rad/s.

b. Posisi sudut dapat ditentukan sebagai berikut.

Artikel Terkait

Updated: 17 November 2014 — 15:39

1 Comment

Add a Comment
  1. Ada pertanyaan ni,tolong di bantu
    sebuah pengulung dalam mesin cetak berputar melalui sudut Q(t) dengan kecepatan sudut (+)= a-bt2 a=400rad/s b.0,9 rad/s3 tentukan
    a.kecepatan sudut rata-rata dari 1-2s
    b.percepatan sudut pada t <t=1,5 s

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Budisma.web.id © 2014