Menghitung Vektor Perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4. Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δr, yaitu

Δr = rQrP ………. (1–2)

Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal.

Gambar 1.4Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr

Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.

Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.

Apabila xQxP = Δx dan yQyP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi

Δr = Δxi + Δyj ………. (1–3)

Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δrmaka dapat dituliskan

Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 1.5 berikut.

Gambar 1.5Perpindahan vektor Δr menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ yArah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai

Contoh soal

Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.

Jawab

Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8).

Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah

rP = 3i + 2j

rQ = 11i + 8j

Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut

Δr = rQrP = (11i + 8j) – (3i + 2j)

Δr = 8i + 6j

Besar vektor Δr adalah

Arah perpindahan vektor itu adalah

Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.

Contoh Soal 1.1
Sebuah bola kasti bergerak pada bidang xy. Koordinat x dan bola tersebut dinyatakan oleh persamaan x = 18t dan 4t — 5t2 dengan xdan dalam meter serta dalam sekon. Tuliskan persamaan vektor posisi r dengan menggunakan vektor satuan i dan j.
PENYELESAIAN:
Vektor posisi r dalam ungkapan vektor satuan i dan j dapat dituliskan sebagai
r = xi + yj
karena x = 18t dan y = 4t —5t2, maka
r = (18t)i + (4t — 5t2)j meter
contoh soal 1.2
Posisi partikel sebagai fungsi waktu dinyatakan oleh persamaan vektor posisi r(t) = (at2 + bt)i + (ct + d)j dengan a, b, c, dan adalah konstanta yang memiliki dimensi yang sesuai. Tentukanlah vektor perpindahan partikel tersebut antara t = 1 sekon dan t = 2 sekon serta tentukan pula besar perpindahannya.
PENYELESAIAN:
vektor posisi partikel:
r(t) = (at2 + bt)i + (ct + d)j
Pada saat t = 1 s, vektor posisi partikel adalah
r1 = [a( 1)2 + b(1)]i + [c(1) + d]j
= (a + b)i + (c + d)j
Pada saat t = 2 s, vektor posisi partikel adalah
r2 = [a(2)+ b(2)]i + [c(2) + d]j
= (4a + 2b)i + (2c + d)j
Vektor perpindahan partikel:
∆r = r2 — ri
∆r = [(4a + 2b) — (a + b)]i + [(2c + d) — (c + d)]j
∆r = (3a + b)i + cj
Besar perpindahan partikel:
Ar = √(3a + b)2 + c2 = √9a2 + 6ab + b2 + c2
Contoh soal 1.3
Jarum panjang sebuah jam mempunyai panjang 6 cm. Tentukan vektor kecepatan rata-rata ujung jarum tersebut dalam interval waktu 20 menit dari angka 12 ke angka 4. Nyatakan dalam sistem koordinat, di mana sumbu x ke arah angka 3 dan sumbu y ke arah angka 12.
r1 = 6j cm
r2 = (6 cos 30° i+ 6 sin 30° j) cm
= (3√3 i + 3 j) cm
Vektor perpindahan:
∆r = r2 – r1 = = 3√3 i + (3 – 6) j
= (3 √3 i – 3 j) cm
Kecepatan rata-rata
Vr= ∆= (3√3  i – 3 j) cm
∆t         20 menit
= (0,15 √3 i – 0,15 j) cm/menit
Contoh soal 1.4
Tentukan posisi partikel sebagai fungsi waktu jika persamaan kecepatan partikel adalah sebagai berikut.
  1. v = 4ti + 3j
  2. v = 2t + 6t2
  3. c.           vx 311/2 + 5 3/2 dan vy = sin 5t
Diketahui bahwa pada awal gerakan, partikel berada di pusat koordinat.
PENYELESAIAN:
  1.     a. r = v dt = 4ti +3j)dt = 2t2i+ 3tj
    1. s = v dt =  (2t + 6t) dt = t 2 + 2t3
c.  x = vx dt =  (3t ½ + 5t 3/2)dt = 2t 3/2 + 2t 5/2
y = vy dt =  sin 5t dt = [ –  cos 5t] t0
= – (cos 5t – cos 0)
= – (cos 5t – 1) = – cos 5t +
Contoh soal 1.5
Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = (vXi+ vyj) m/s dengan v= 2t m/s dan vy = (1+ 3t2) m/s. Pada saat awal, partikel berada di titik pusat koordinat (0,0).
  1. Tentukan percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 sekon.
  2. Nyatakan persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu.
  3. Tentukan posisi partikel pada saat t = 2 sekon.
Tentukan besar dan arah percepatan dan kecepatan pada saat t = 2 sekon.
PENYELESAIAN:
  1. v = [2ti + (1 + 3t2)j] m/s
t1 = 0     V1 = 2(0)i + [1 + 3(0)2]         = 1 j m/s
t2 = 2 s      v2 = 2(2)i + [1 + 3(2)2]j =  (4i + 13j) m/s
∆V = V2 — v1 = 4i + (13 – 1)j = (4i + 12j) m/s
t =t2—t1=2-0=2s
ar = ∆V           4i + 12j = (2i + 6j) m/s 2
t          2
  1. Persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu
a(t) =  =  [2ti + (1 + 3t2)j]
= (2i + 6tj) m/s 2
c. r = v dt =  [2t1 + (1 + 3t2)j] dt
= t2i + (t + t3)j
t = 2 s       r = (2)I + [(2) + (2)3] j = (4i + 10j) m
d. t = 2 s       a = 2i + 6(2)j = (2i + 12j) m/s2
a= |a| =  =  = 12,6 m/s2
tan α =  =  = 6
α = 80,54°
v = 2(2)i + [1+3(2)2]j = (4i + 13j) m/s
v = |v| =  =  = 13,6 m/s
tan α =  =  = 3,25
α = 72,90°
contoh soal 1.6
Meisya berlari sejauh 60 m ke arah selatan, kemudian berbelok ke timur sejauh 25 m, dan akhirnya ke tenggara sejauh 10 m. Hitung besar dan arah perpindahan Meisya.
PENYELESAIAN:
x Komponen x:
s1x = S1 Cos Ѳ 1 = (60 m) [cos (-900)] = 0
S2x = S2 cos Ѳ 2 = (25 m)(cos 0°) = 25 m
S3x = S3 COSѲ 3 =(10 m) [cos (-45°)] = 7,07 m
Sx = S1x + S2x + S3x
= 0 + 25 m + 7,07 m = 32,07 m
sx = s1x + s2x + s3x
= 0 + 25m + 7,07m
= 32,07m
Komponen y
S 1y = s1 sin Ѳ1 = (60m) [cos (-90°)] = -60m
S 2y = s2 sin Ѳ= (25m) (sin 0°) = 0
S3y = s3 sin Ѳ= (10m) [cos (-45°)] = -7,07 m
s= S 1y + S 2y + S 3y
= -60m + 0 + (-7,07m)
= -67,07 m
Besar perpindahan dapat kita hitung dengan rumus phytagoras
S =  =
S = 74,34m
Arah perpindahan dapat kita hitung dengan rumus trigonometri
α = arc tan  = arc tan  = arc tan (-2,09)
α = -64,43°
contoh soal 1.7
Seorang tentara berenang menyeberangi sungai yang lebarnya 500 m dengan kecepatan 3 km/jam tegak lurus terhadap arah arus air. Kecepatan arus air sungai sama dengan 4 km/jam.
(a)     Tentukan resultan kecepatan tentara tersebut.
(b)   Berapa jauh tentara tersebut menyimpang dari tujuan semula?
PFNYELESAIAN:
Resultan kecepatan tentara akibat pengaruh arus sungai dihitung berdasarkan rumus Pythagoras, karena arahnya saling tegak lurus.
v =  =
= 5 km/jam
Menurut rumus geometri untuk perpindahan dan kecepatan, diperoleh:
Arah perpindahan, tan α =
Arah kecepatan, tan α =
Maka,  =
x =  =
x = 666,67m
(Tentara tersebut menyimpang 666,67 m dari titik tepat di depannya di seberang sungai saat is mulai berenang.)
Contoh soal 1.8
Kompas pesawat terbang menunjukkan bahwa pesawat bergerak ke utara dar indikator kelajuan menunjukkan bahwa pesawat sedang bergerak dengan kelajuan 240 km/jam. Jika ada angin berhembus dengan kelajuan 100 km/jam dari barat ke timur, berapakah kecepatan pesawat terbang relatif terhadap Bumi?
PENYELESAIAN:
Kecepatan pesawat relative terhadap arah angin
vpa = 240 km/jam ke utara
kecepatan angin relative terhadap bumi
vab = 100 km/jam ke timur
kecepatan pesawat relative terhadap bumi
vpb = vpa + vab
besar kecepatan
vpb =  =
= 260 °
Arah kecepatan
α= arc tan  = arc tan
= 22,6°
(Arah kecepatan pesawat relatif terhadap Bumi adalah 22,6° search jarum jam dari utara.)
Contoh soal 1.9
Dalam suatu perlombaan, seorang pemanah melepas anak panah dari busurnya dengan kecepatan 30 m/s.
a)         Berapakah jarak jangkauan maksimum?
b)         Tentukan dua sudut elevasi di mana anak panah mencapai target yang jaraknya 70 m.
PENYELESAIAN:
  1. Jarak jangkauan dapat dihitung dengan persamaan (1-35)
R =
Untuk jarak jangkauan maksimum, berarti sin 2α = 1, maka:
Rmaks =  =  = 91,84 m
  1. Kita masih menggunakan persamaan (1-35) untuk mencari dua sudut elevasi yang memberikan jarah jangkauan sama
R =
Sin 2α =  =  = 0,762
2α = arc sin 0,762
2α = 49,66° atau 130,34°
α 1 = 24,83° atau 65,17°
Contoh soal 1.10
Sebuah bola dilempar dengan kelajuan 20 m/s pada sudut elevasi 60°. Bola lepas dari tangan pelempar pada ketinggian 1,8 m. Pada ketinggian berapa bola akan mengenai dinding yang jarak mendatarnya
10 m?
PENYELESAIAN:
Kita awali dengan menyelidiki gerak      60° horizontal.
Komponen horizontal dari kecepatan awal bola, yaitu:
V0x = v0 cos α = (20m/s) (cos60°)
=10m/s
Jarak horizontal, x = 10m
X= V0xt (gerak lurus beraturan)
t =  =  = 1 s
selanjutnya, kita tinjau gerak vertical :
komponen vertical dari kecepatan awal bola yaitu:
V0y = v0 sin α = (20m/s)(sin60°) = 17,32 m/s
Ketinggian dimana bola menyentuh dinding
y = y0 + v0yt –  gt2
= 1,8m + (17,32 m/s)(1 s) –  (9,8 m/s2)(1s)2
= 14,22 m

Artikel Terkait

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Budisma.web.id © 2014 Frontier Theme